Pongamos que tenemos un mapa dividido en regiones. Uno de los típicos mapas políticos nos vale. Entonces, una pregunta sencilla que uno puede hacerse es cuántos colores son necesarios para colorear todo el mapa de forma que dos regiones adyacentes (que comparten un borde) no tengan el mismo color.
En 1852, Francis Guthrie notó mientras hacía un mapa de los condados de Inglaterra que con cuatro colores le bastaban. Cuatro colores parecían suficientes, pues nadie era capaz de encontrar un mapa para el que hicieran falta más.
Esto atrajo la atención de muchos matemáticos, pues la pregunta de cuántos colores son necesarios para pintar un mapa es bien sencilla y al parecer resultaba que bastaban cuatro. Sin embargo nadie conseguía encontrar una demostración de semejante hecho. Se publicaron muchas demostraciones, pero todas eran invalidas, pues tenían errores.
No fue hasta 1976 cuando el teorema fue probado. Appel y Haken consiguieron realizar una prueba que cuestionó las bases de las matemáticas. La demostración de Appel y Haken era muy novedosa, pues era una demostración por ordenador.
Hicieron un programa que dividió el problema en más de mil casos distintos y comprobó que en todos los casos era cierto que bastaban cuatro colores. Muchos matemáticos eran sin embargo reticentes a aceptar esta prueba. Durante toda la historia, la idea de una demostración era una secuencia lógica de pasos que nos llevaba al resultado y que una persona podía revisar y comprobar si desde cada paso era correcto pasar al siguiente paso.
Obviamente, ninguna persona podría revisar que los pasos que siguió el programa para demostrar el teorema eran demasiados. Después de más de 30 años, nadie ha conseguido refutar la demostración y suele ser aceptada como válida. También se ha publicado demostraciones simplificadas, pero todas ellas requieren de un ordenador que compruebe un gran número de casos.
Hoy en día, los ordenadores son de utilidad en ciertas pruebas matemáticas, pues existen programas que pueden comprobar si una demostración es lógicamente correcta. Por ejemplo, metamath.org es un sitio web que contiene miles de pruebas que han sido verificadas por ordenador.
Firmado: Dani
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jueves, 21 de mayo de 2009
jueves, 14 de mayo de 2009
EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Un fractal es una estructura o figura que tiene partes que son exactamente iguales que la figura completa. Es decir, si tomamos una porción de la figura, y la ampliamos, veremos que la ampliación es igual que la figura original. En la naturaleza hay varios ejemplos de estructuras fractales. Por ejemplo, las hojas de un helecho.
Algunos fractales son en realidad "cuasi-fractales", pues las partes pequeñas de la figura no son exactamente iguales que la figura completa, si no que son, por así decirlo, variaciones.
Uno de los fractales más interesantes es el conjunto de Mandelbrot. Este fractal pertenece al grupo de los cuasi-fractales. Su definición matemática es realmente sencilla. Animo a cualquiera que le suenen que son los números complejos a mirarla en la Wikipedia. Sin embargo, de una definición tan sencilla, aparece, como de la nada, una estructura con una complejidad enorme. Todavía no se ha podido explicar con detalle la lógica que siguen sus infinitas ramificaciones, pero se sospecha que guardan mucha relación con la teoría de números, es decir, con cómo se comportan realmente los números.
Dentro del conjunto de Mandelbrot, haciendo zoom en algunas de sus partes, uno puede encontrar dos cosas interesantes. La primera, son variaciones del propio conjunto de Mandelbrot: un Mandelbrot en miniatura. La otra, son variaciones de otros fractales muy relacionados con el conjunto de Mandelbrot: los conjuntos de Julia.
Uno puede hacer zoom en el conjunto de Mandelbrot y vagar y perderse en el infinito, pues los detalles del conjunto van hasta lo más infinitamente pequeño. En este viaje, se pueden visitar únicos y extraños paisajes. Podría hablar de ellos durante horas, pero creo que las imágenes que muestro hablan por sí mismas.
Existen en Internet multitud de programas para dibujar fractales, así que animo a cualquier interesado a bajarse alguno y sumergirse en el mundo de los fractales. Un poco de búsqueda en Wikipedia es un buen lugar para empezar.
Firmado: Dani
jueves, 7 de mayo de 2009
Solución del acertijo
Lo prometido es deuda, así que hoy voy a explicar la solución del acertijo de la semana pasada. La solución consiste en examinar todas las combinaciones posibles de sombreros rojos y verdes y notar que sólo hay una que encaja con la situación que se describe. Podemos ordenar las combinaciones por el número de sombreros rojos que hay.
1. Ningún sombrero rojo. Entonces ninguno de los tres hombres levanta la mano. Cada uno de los hombres sabe que su sombrero ha de ser verde, pues si fuera rojo, sus dos compañeros lo verían y deberían alzar la mano. Los tres hombres salen de la habitación.
2. Un sólo sombrero rojo. El propietario del sombrero rojo ve a dos hombres con la mano levantada y llevando sombrero verde. Razona entonces que sus dos compañeros han de ver algún sombrero rojo, y como los otros dos sombreros son verdes ha de ser el suyo el que es el rojo. Los hombres con sombreros verdes ven un sombrero rojo y otro verde, y también ven que sólo el propietario del sombrero verde levanta la mano. Por tanto, su propio gorro ha de ser verde, pues de ser rojo sus otros dos compañeros habrían levantado la mano. Los tres hombres han adivinado de qué color es su sombrero y salen de la habitación.
3. Dos sombreros rojos. Cada uno de los propietarios del sombrero rojo ve un sombrero verde y otro rojo, y dos manos levantadas. Por tanto, deducen que su gorro es rojo, pues de ser verde, el hombre que lleva sombrero rojo vería dos sombreros verdes y no levantaría la mano. Los dos hombres del sombrero rojo han adivinado de qué color es su sombrero y salen de la habitación. Obsérvese que el hombre del sombrero verde no puede decidir nada, pues ve dos sombreros rojos y dos manos levantadas. Esta situación ocurriría igualmente tanto si su sombrero es rojo como si es verde.
4. Tres sombreros rojos. Cada uno de los tres hombres ve dos sombreros rojos y dos manos levantadas. En efecto, están en la misma situación que el que llevaba el gorro verde en la situación 3, y ninguno puede decidir de qué color es su sombrero.
Por tanto, en nuestro problema lo que pasa es que había tres sombreros rojos. En principio, ninguno de los tres hombres puede saber si su sombrero es rojo o verde, y por eso nadie sale de la habitación. Más tarde, a los 10 minutos, uno de ellos razona de la siguiente manera.
"Si la situación fuera la 1, la 2 o la 3, alguien habría adivinado ya de qué color es su sombrero. Sin embargo, nadie ha podido adivinarlo.
Por tanto hemos de estar en la situación 4 (la única donde nadie puede saber el color de su sombrero). Entonces, mi sombrero es rojo." El hombre sale de la habitación y quedan los otros dos hombres. Ambos siguen con la mano levantada, adivinando entonces que su sombrero es rojo. Por tanto salen de la habitación.
Firmado: Dani.
1. Ningún sombrero rojo. Entonces ninguno de los tres hombres levanta la mano. Cada uno de los hombres sabe que su sombrero ha de ser verde, pues si fuera rojo, sus dos compañeros lo verían y deberían alzar la mano. Los tres hombres salen de la habitación.
2. Un sólo sombrero rojo. El propietario del sombrero rojo ve a dos hombres con la mano levantada y llevando sombrero verde. Razona entonces que sus dos compañeros han de ver algún sombrero rojo, y como los otros dos sombreros son verdes ha de ser el suyo el que es el rojo. Los hombres con sombreros verdes ven un sombrero rojo y otro verde, y también ven que sólo el propietario del sombrero verde levanta la mano. Por tanto, su propio gorro ha de ser verde, pues de ser rojo sus otros dos compañeros habrían levantado la mano. Los tres hombres han adivinado de qué color es su sombrero y salen de la habitación.
3. Dos sombreros rojos. Cada uno de los propietarios del sombrero rojo ve un sombrero verde y otro rojo, y dos manos levantadas. Por tanto, deducen que su gorro es rojo, pues de ser verde, el hombre que lleva sombrero rojo vería dos sombreros verdes y no levantaría la mano. Los dos hombres del sombrero rojo han adivinado de qué color es su sombrero y salen de la habitación. Obsérvese que el hombre del sombrero verde no puede decidir nada, pues ve dos sombreros rojos y dos manos levantadas. Esta situación ocurriría igualmente tanto si su sombrero es rojo como si es verde.
4. Tres sombreros rojos. Cada uno de los tres hombres ve dos sombreros rojos y dos manos levantadas. En efecto, están en la misma situación que el que llevaba el gorro verde en la situación 3, y ninguno puede decidir de qué color es su sombrero.
Por tanto, en nuestro problema lo que pasa es que había tres sombreros rojos. En principio, ninguno de los tres hombres puede saber si su sombrero es rojo o verde, y por eso nadie sale de la habitación. Más tarde, a los 10 minutos, uno de ellos razona de la siguiente manera.
"Si la situación fuera la 1, la 2 o la 3, alguien habría adivinado ya de qué color es su sombrero. Sin embargo, nadie ha podido adivinarlo.
Por tanto hemos de estar en la situación 4 (la única donde nadie puede saber el color de su sombrero). Entonces, mi sombrero es rojo." El hombre sale de la habitación y quedan los otros dos hombres. Ambos siguen con la mano levantada, adivinando entonces que su sombrero es rojo. Por tanto salen de la habitación.
Firmado: Dani.
jueves, 30 de abril de 2009
Acertijo: Los sombreros
Hoy vengo con un acertijo. Se pueden mandar las respuestas por e-mail a: acertijo (arroba) greendragon.homelinux.org La semana que viene publicaremos la solución junto con las mejores respuestas. Buena suerte a todos.
çEl acertijo comienza ya. Se encierra a tres hombres en una habitación. Cada uno lleva un sombrero o bien rojo o bien verde, y no puede de ninguna forma examinar de qué color es, pero puede ver los sombreros de sus dos compañeros. Ninguno de los hombres puede comunicarse con los demás, salvo que si ve que alguno de sus compañeros lleva un sombrero rojo, ha de mantener un brazo levantado. Si en algún momento uno de los hombres sabe con certeza de qué color es su sombrero, ha de salir inmediatamente de la habitación sin decir nada.
Comienza el juego y resulta que nadie sale de la sala en algún tiempo.
A los diez minutos sale uno de los hombres y acto seguido los otros dos. ¿De qué colores eran los sombreros de cada uno?
¿Cómo supieron de qué color era su sombrero?
Firmado: Dani
çEl acertijo comienza ya. Se encierra a tres hombres en una habitación. Cada uno lleva un sombrero o bien rojo o bien verde, y no puede de ninguna forma examinar de qué color es, pero puede ver los sombreros de sus dos compañeros. Ninguno de los hombres puede comunicarse con los demás, salvo que si ve que alguno de sus compañeros lleva un sombrero rojo, ha de mantener un brazo levantado. Si en algún momento uno de los hombres sabe con certeza de qué color es su sombrero, ha de salir inmediatamente de la habitación sin decir nada.
Comienza el juego y resulta que nadie sale de la sala en algún tiempo.
A los diez minutos sale uno de los hombres y acto seguido los otros dos. ¿De qué colores eran los sombreros de cada uno?
¿Cómo supieron de qué color era su sombrero?
Firmado: Dani
jueves, 16 de abril de 2009
La habitación china
La habitación china es un experimento mental creado en 1980 por John Searle con el objetivo de preguntarnos qué entendemos realmente por inteligencia artificial. Searle quería refutar con este experimento la idea de que si un ordenador actúa como si fuera inteligente, entonces de hecho es inteligente.
Supongan que se construye un ordenador que entiende chino en el siguiente sentido. El programa recibe frases en chino y las contesta con otras frases en chino. Hace esto de una forma tan convincente que un hablante de chino podría conversar perfectamente con el ordenador sin poder distinguir si está conversando con una persona o una máquina.
Por supuesto, el ordenador funciona de la siguiente forma, toma una frase en chino y mediante un conjunto (probablemente muy complejo) de reglas descrito en un programa calcula y crea la frase de respuesta. ¿Dirían ustedes que el ordenador entiende chino? Supongan ahora que se construye una habitación en la que hay un hombre dentro que no sabe hablar chino. A este hombre se le da lápiz y papel, y una versión del programa (las instrucciones) que tenía el ordenador impresa en inglés (o en el idioma que hable el hombre). El hombre recibe una frase en chino a través de una rendija en la puerta y se dedica a seguir las instrucciones que tiene impresas, con ayuda de lápiz y papel para poder escribir una frase de respuesta.
Pero el hombre no entiende ninguno de los caracteres chinos que está leyendo o escribiendo. Se limita a buscarlos en su manual y copiarlos de su manual. No obstante, como su manual es el mismo programa que usaba el ordenador, acabará respondiendo con la misma frase que hubiera usado el ordenador. Por tanto, para un chino que intente conversar con la habitación, parecerá como si la habitación hablara chino.
¿Dirían ustedes que el hombre o que la habitación entienden chino? Como respuesta a Searle, ha habido multitud de argumentos intentando definir qué entendemos realmente por inteligencia o qué constituye una mente. La discusión se centra en torno a la siguiente pregunta: ¿puede surgir la semántica de la sintaxis?.
La sintaxis consiste en la manipulación de símbolos sin significado según unas reglas. En la habitación de chino hay una sintaxis: las instrucciones del hombre. Todos los programas son sintaxis, pues son un conjunto de instrucciones. Sin embargo, la semántica es dotar de significado a los símbolos. Según Searle, no hay semántica en la habitación de chino, pues nada ni nadie entiende los símbolos chinos, así que no tienen significado para la habitación.
Searle va más allá y dice que la sintaxis jamás puede originar una semántica y que sin embargo las mentes tienen semántica. Por tanto, un programa jamás podrá constituir una mente.
No obstante, la discusión está servida.
Firmado: Dani
Supongan que se construye un ordenador que entiende chino en el siguiente sentido. El programa recibe frases en chino y las contesta con otras frases en chino. Hace esto de una forma tan convincente que un hablante de chino podría conversar perfectamente con el ordenador sin poder distinguir si está conversando con una persona o una máquina.
Por supuesto, el ordenador funciona de la siguiente forma, toma una frase en chino y mediante un conjunto (probablemente muy complejo) de reglas descrito en un programa calcula y crea la frase de respuesta. ¿Dirían ustedes que el ordenador entiende chino? Supongan ahora que se construye una habitación en la que hay un hombre dentro que no sabe hablar chino. A este hombre se le da lápiz y papel, y una versión del programa (las instrucciones) que tenía el ordenador impresa en inglés (o en el idioma que hable el hombre). El hombre recibe una frase en chino a través de una rendija en la puerta y se dedica a seguir las instrucciones que tiene impresas, con ayuda de lápiz y papel para poder escribir una frase de respuesta.
Pero el hombre no entiende ninguno de los caracteres chinos que está leyendo o escribiendo. Se limita a buscarlos en su manual y copiarlos de su manual. No obstante, como su manual es el mismo programa que usaba el ordenador, acabará respondiendo con la misma frase que hubiera usado el ordenador. Por tanto, para un chino que intente conversar con la habitación, parecerá como si la habitación hablara chino.
¿Dirían ustedes que el hombre o que la habitación entienden chino? Como respuesta a Searle, ha habido multitud de argumentos intentando definir qué entendemos realmente por inteligencia o qué constituye una mente. La discusión se centra en torno a la siguiente pregunta: ¿puede surgir la semántica de la sintaxis?.
La sintaxis consiste en la manipulación de símbolos sin significado según unas reglas. En la habitación de chino hay una sintaxis: las instrucciones del hombre. Todos los programas son sintaxis, pues son un conjunto de instrucciones. Sin embargo, la semántica es dotar de significado a los símbolos. Según Searle, no hay semántica en la habitación de chino, pues nada ni nadie entiende los símbolos chinos, así que no tienen significado para la habitación.
Searle va más allá y dice que la sintaxis jamás puede originar una semántica y que sin embargo las mentes tienen semántica. Por tanto, un programa jamás podrá constituir una mente.
No obstante, la discusión está servida.
Firmado: Dani
jueves, 2 de abril de 2009
La Máquina analítica
Charles Babbage fue un soñador y un visionario. En 1837 diseñó la máquina analítica, una máquina que empleando elementos mecánicos como engranajes y demás podría realizar complicados cálculos matemáticos. Y no sólo eso, la máquina era programable. Podría realizar cualquier tipo de cálculo si se le daban las instrucciones necesarias para ello. Las instrucciones se almacenaban en tarjetas perforadas y la máquina las podía leer, interpretar y llevar a cabo. Babbage tomó esta idea de algunos telares mecánicos de la época, que empleaban tarjetas perforadas para dirigir el tipo de tejido que se hacía.
Ciertamente, su diseño de la máquina analítica era lo que hoy en día conocemos como un ordenador. Antes de la electrónica y el silicio, Babbage se anticipó a la llegada de los ordenadores por unos 100 años. No obstante, la máquina nunca se construyó. Construirla habría costado una suma demasiado amplia de dinero, y algunos opinan que los elementos mecánicos de la época no eran lo suficientemente precisos como para que la máquina pudiera funcionar. Aun así, el diseño de Babbage ha sido analizado extensamente hoy día, y no hay duda de que, de construirse, la máquina funcionaría.
Babbage se dio cuenta también de otra cosa. La máquina necesitaba una secuencia de instrucciones para realizar un cálculo útil (un programa) y alguien debía encargarse de escribir esa secuencia, teniendo cuidado para que funcionara correctamente. Babbage contactó entonces con su amiga Ada Lovelace, la hija del famoso poeta Lord Byron. Ada era matemática y estaba muy interesada en la idea de Babbage. Ella estudió el diseño de la máquina analítica y entre otras cosas escribió un programa para calcular una secuencia de números conocida como los números de Bernoulli. Este fue el primer programa de la historia.
Ada se adelantó aun mucho más que Babbage, quien sólo pensaba en la utilidad de la máquina para hacer cálculos. Ada soñó mucho más y especuló la posibilidad de que la máquina analítica fuera capaz de producir composiciones musicales y científicas de cualquier complejidad. Murió desangrada con 36 años. Padecía cáncer de útero, y en aquella época el sangrado era un tratamiento usual. Ada, una mujer maravillosa que se adelantó a su época, no pudo soñar más, dado el estado de la medicina de antaño.
Y así, una mujer fue la primera programadora de la historia, Ada Lovelace, la hija de un poeta.
Firmado: Dani
Ciertamente, su diseño de la máquina analítica era lo que hoy en día conocemos como un ordenador. Antes de la electrónica y el silicio, Babbage se anticipó a la llegada de los ordenadores por unos 100 años. No obstante, la máquina nunca se construyó. Construirla habría costado una suma demasiado amplia de dinero, y algunos opinan que los elementos mecánicos de la época no eran lo suficientemente precisos como para que la máquina pudiera funcionar. Aun así, el diseño de Babbage ha sido analizado extensamente hoy día, y no hay duda de que, de construirse, la máquina funcionaría.
Babbage se dio cuenta también de otra cosa. La máquina necesitaba una secuencia de instrucciones para realizar un cálculo útil (un programa) y alguien debía encargarse de escribir esa secuencia, teniendo cuidado para que funcionara correctamente. Babbage contactó entonces con su amiga Ada Lovelace, la hija del famoso poeta Lord Byron. Ada era matemática y estaba muy interesada en la idea de Babbage. Ella estudió el diseño de la máquina analítica y entre otras cosas escribió un programa para calcular una secuencia de números conocida como los números de Bernoulli. Este fue el primer programa de la historia.
Ada se adelantó aun mucho más que Babbage, quien sólo pensaba en la utilidad de la máquina para hacer cálculos. Ada soñó mucho más y especuló la posibilidad de que la máquina analítica fuera capaz de producir composiciones musicales y científicas de cualquier complejidad. Murió desangrada con 36 años. Padecía cáncer de útero, y en aquella época el sangrado era un tratamiento usual. Ada, una mujer maravillosa que se adelantó a su época, no pudo soñar más, dado el estado de la medicina de antaño.
Y así, una mujer fue la primera programadora de la historia, Ada Lovelace, la hija de un poeta.
Firmado: Dani
jueves, 26 de marzo de 2009
Resonancia
Quizá ustedes han oído alguna vez la anécdota de que las sopranos pueden, si dan una nota muy aguda, romper con su voz una copa de vidrio. El fenómeno que hace que esto sea posible se llama resonancia.
La resonancia fue descubierta por Galileo cuando estudiaba el péndulo y consiste en lo siguiente: para todo cuerpo capaz de vibrar, hay una frecuencia llamada frecuencia de resonancia a la cual, si obligamos al cuerpo a vibrar a esa frecuencia, vibrará mucho más que con cualquier otra frecuencia. Es por eso por lo que la copa se rompe. La soprano hace vibrar la copa a su frecuencia de resonancia, y entonces la copa vibra con tanta fuerza que el material no puede soportar la vibración y se rompe.
Todos los objetos tienen una frecuencia de resonancia que depende de tres características del material: la masa, la resistencia o viscosidad y la elasticidad. En física y en matemáticas, el objeto que representa a cualquier objeto vibrando se llama oscilador lineal, y viene dado precisamente por estas tres cantidades. Los físicos suelen pensar en el oscilador lineal como un muelle del que cuelga una bola pesada que se mueve hacia arriba y hacia abajo.
La resonancia, hoy en día, tiene importantes aplicaciones. Por ejemplo, está detrás del funcionamiento de la radio y también del televisor. Es usando la resonancia como podemos sintonizar un canal en particular.
Hay unos circuitos, llamados circuitos LRC que pueden hacer vibrar la electricidad que circula por ellos. Como todo objeto que vibra, también tienen su frecuencia de resonancia. Estos circuitos están formados por tres elementos, y cada elemento se corresponde con una de las tres cantidades que vimos antes. Hay un inductor (L), que se corresponde con la masa; una resistencia (R), que se corresponde con la viscosidad y un condensador (C), que se corresponde con la elasticidad.
Lo interesante de estos circuitos es que podemos cambiar la frecuencia de resonancia a nuestro antojo variando uno de estos tres elementos. El inductor es el más fácil de variar. Un inductor es simplemente un cilindro de cable enrollado (una bobina) con una barrita de hierro dentro. El funcionamiento de un inductor se basa en el campo magnético que se crea dentro de la bobina. Sacando o metiendo la barra de hierro se altera el campo magnético.
Eso es justamente lo que hace el dial de una radio para sintonizar. Girando el dial, entra o sale más la barra de hierro, se modifica el campo magnético del inductor y esto hace que cambie la frecuencia de resonancia de la radio. Entonces, de todas las frecuencias que llegan por la antena de la radio, la única que se amplifica es la frecuencia de resonancia, y por tanto es la única que oímos. Cambiando la frecuencia de resonancia, sintonizamos otra emisora.
Firmado: Dani
La resonancia fue descubierta por Galileo cuando estudiaba el péndulo y consiste en lo siguiente: para todo cuerpo capaz de vibrar, hay una frecuencia llamada frecuencia de resonancia a la cual, si obligamos al cuerpo a vibrar a esa frecuencia, vibrará mucho más que con cualquier otra frecuencia. Es por eso por lo que la copa se rompe. La soprano hace vibrar la copa a su frecuencia de resonancia, y entonces la copa vibra con tanta fuerza que el material no puede soportar la vibración y se rompe.
Todos los objetos tienen una frecuencia de resonancia que depende de tres características del material: la masa, la resistencia o viscosidad y la elasticidad. En física y en matemáticas, el objeto que representa a cualquier objeto vibrando se llama oscilador lineal, y viene dado precisamente por estas tres cantidades. Los físicos suelen pensar en el oscilador lineal como un muelle del que cuelga una bola pesada que se mueve hacia arriba y hacia abajo.
La resonancia, hoy en día, tiene importantes aplicaciones. Por ejemplo, está detrás del funcionamiento de la radio y también del televisor. Es usando la resonancia como podemos sintonizar un canal en particular.
Hay unos circuitos, llamados circuitos LRC que pueden hacer vibrar la electricidad que circula por ellos. Como todo objeto que vibra, también tienen su frecuencia de resonancia. Estos circuitos están formados por tres elementos, y cada elemento se corresponde con una de las tres cantidades que vimos antes. Hay un inductor (L), que se corresponde con la masa; una resistencia (R), que se corresponde con la viscosidad y un condensador (C), que se corresponde con la elasticidad.
Lo interesante de estos circuitos es que podemos cambiar la frecuencia de resonancia a nuestro antojo variando uno de estos tres elementos. El inductor es el más fácil de variar. Un inductor es simplemente un cilindro de cable enrollado (una bobina) con una barrita de hierro dentro. El funcionamiento de un inductor se basa en el campo magnético que se crea dentro de la bobina. Sacando o metiendo la barra de hierro se altera el campo magnético.
Eso es justamente lo que hace el dial de una radio para sintonizar. Girando el dial, entra o sale más la barra de hierro, se modifica el campo magnético del inductor y esto hace que cambie la frecuencia de resonancia de la radio. Entonces, de todas las frecuencias que llegan por la antena de la radio, la única que se amplifica es la frecuencia de resonancia, y por tanto es la única que oímos. Cambiando la frecuencia de resonancia, sintonizamos otra emisora.
Firmado: Dani
jueves, 19 de marzo de 2009
Del color del cielo
Todos hemos visto siempre el marcado color azul del cielo, y quizá alguna vez nos hemos preguntado el por qué de este color. Resulta que la explicación no fue dada hasta finales del siglo XIX. Lord Rayleigh, un físico en inglés formuló la dispersión Rayleigh, que explica este color azul. Además, esta dispersión es también la responsable del color de los ojos azules y del color azul de las venas. Así que los piropos del estilo de "tienes los ojos del color del cielo" no andan tan lejos de la realidad.
Lo que ocurre es que cuando la luz atraviesa algunos materiales transparentes, mayormente los gases como la atmósfera, parte de esta se dispersa. Esto quiere decir que en lugar de seguir la trayectoria recta que tenía, rebota y se desvía en todas direcciones. Esta dispersión es mucho mayor cuanto mayor es la frecuencia de la la luz.
La luz tiene distinta frecuencia según su color, y la luz blanca del sol es una mezcla de todos los colores. Es la diferencia de frecuencia la que hace que los colores se puedan separar formando un arco iris. La luz azul es la de mayor frecuencia, mientras que la roja es la de menor. Por tanto, la luz que se dispersa es principalmente azul. El cielo se ilumina entonces de azul, pues está haciendo rebotar la luz azul en todas direcciones.
Podemos observar también este fenómeno en los ojos azules. Cuando no hay mucha luz, estos ojos azules suelen parecer grises. En realidad son algo así como grises. Es la luz que azul entra en el ojo y se dispersa hacia fuera la que les da el color azul.
También la dispersión Rayleigh está detrás del color de la puesta de sol. Cuando el sol se pone, su luz atraviesa más parte de la atmósfera, y sólo consiguen llegar sin dispersarse los tonos de luz con menor frecuencia: los rojizos.
Firmado: Dani
jueves, 12 de marzo de 2009
El efecto Mariposa
Edward Lorenz, matemático y meteorólogo, en el año 1963 estaba trabajando en un sistema que modelara el clima, esto es, una fórmula que dadas las medidas meteorológicas del día de hoy sea capaz de decirnos qué tiempo hará mañana, o dentro de una semana. Tras muchos cálculos, llegó a un sistema de tres ecuaciones. Con esas tres ecuaciones, un ordenador sería capaz de calcular y simular cómo cambia el clima con el tiempo.
Cuando Lorenz tuvo sus resultados, cual fue su sorpresa al ver lo que ocurría. Como pueden ver en la imagen, había dos puntos alrededor de los cuales la línea daba vueltas, y la linea cambiaba entre un punto y el otro. Esto representa dos tipos distintos de climas predominantes, y cómo se pasa del uno al otro a lo largo del tiempo.
Lo sorprendente era que era imposible predecir cuándo iba a ser el cambio, en el siguiente sentido. Si yo mido hoy la temperatura, digo que hace 19ºC. Por supuesto esa no es la temperatura exacta, la he redondeado. Lo que pasa es que la temperatura exacta es muy parecida. La temperatura es lo que se llama una condición inicial. Pues bien, en este modelo de Lorenz, si yo meto dos datos iniciales muy parecidos, me generan previsiones muy distintas. La pequeña diferencia entre los datos se va amplificando según avanza la simulación, y los resultados son completamente distintos. Por ejemplo, los cambios de los que hemos hablado ocurren en momentos completamente distintos en cada simulación.
En matemáticas, a este sistema que se porta de una forma tan rara se le llamó atractor extraño o atractor de Lorenz. Siempre que hay un atractor de Lorenz, aparece este comportamiento, llamado comportamiento caótico o efecto mariposa. El efecto mariposa se suele enunciar como "el aleteo de una mariposa en Tokio puede causar un tornado en Nueva York". Esto es cierto, un aleteo es una variación casi insignificante, pero se puede amplificar a lo largo del tiempo y llegar a causar algo tan desastroso como un tornado.
Las consecuencias de esto fueron muy grandes. Durante toda la historia el hombre ha soñado con predecir el futuro. El efecto mariposa nos dice que esto es sólo un sueño. En el universo hay multitud de atractores de Lorenz que causan efectos mariposa. Como no podemos medir nunca de forma exacta las condiciones iniciales, nuestras previsiones serán completamente falsas.
Firmado: Dani
jueves, 5 de marzo de 2009
Presentación
Hola. Pues me han dicho que me encargue de escribir para la sección de ciencia, así que voy a empezar por presentarme un poco.
Actualmente estudio Informática y Matemáticas en la UAM. Llevo algo así como la vida misma cacharreando con ordenadores, más por curiosidad que para sacarle partido realmente, así que antes solía decir que era "informático". Desde que empecé la carrera me he ido metiendo de lleno en esto de las mates, y la verdad es que lo encuentro bastante interesante y satisfactorio. Esto, unido al hecho de que no estoy nada satisfecho con el enfoque que la dan a la informática mis queridos profesores, los cuales ni si quiera saben escribir bien en C, hace que últimamente le diga a todo el mundo que soy "matemático".
Historias de estas a parte, como ven, a lo que me dedico es mayormente tanto a las mates como a la informática, así que, un poco por deformación profesional, principalmente desfilarán por esta sección temas de interés en mates o en informática, quizá haciendo un poco de hincapié en la materia que es común a ambas. Prometo intentar traer también de vez en cuando temas de otras ciencias para que esta sección sea realmente de ciencia.
En mis pocos ratos libres también soy músico (oboista), así que quizá salga alguna vez algún tema que relacione música y matemáticas.
Intentaré darle a esto un enfoque más bien divulgativo, aunque conociéndome sé que alguna vez me pasaré de la raya y me pondré a hablar de cosas que nadie entiende ni a nadie le importan. Dicho todo esto, he considerado que la mejor forma de presentarme de forma "científica" es contándoles a ustedes en qué trabajo actualmente. Este trabajo forma parte de una beca de investigación en matemáticas que realizo en la universidad.
El trabajo es la resolución de un problema en teoría de control. La teoría de control es relativamente nueva y tiene aplicaciones bastante directas en ingeniería. Digo esto último para intentar acabar con el mito de que las matemáticas no sirven para nada y los matemáticos estamos siempre en las nubes.
La cosa esta de la teoría de control va más o menos así. Supongan ustedes que tenemos una cosa a la que llamaremos sistema de control. Esto es básicamente una especie de máquina en la cual hay dos cosas importantes: el estado y la entrada. El clásico ejemplo es el de una planta química donde se fabrica algún producto mediante una reacción. A mí me gustan también el de el sistema de control de estabilidad de un coche o el piloto automático de un avión. Entonces, el estado del sistema en el caso de la planta química podría ser algo así como la presión, temperatura y las concentraciones de los reactivos. En el coche tendríamos la velocidad y dirección, y en el avión la altura, velocidad, orientación y demás.
Este sistema, si nosotros lo dejamos libremente, evoluciona de una forma que normalmente no nos gusta mucho. La planta química podría explotar, el coche se sale por la curva cuando patina, y el avión, bueno, creo que ya saben ustedes todos los posibles desastres. Por eso añadimos al sistema un control. Un control es básicamente una maquinita que actúa sobre el sistema, modificando la evolución natural de éste. En la planta química probablemente se abran y cierren válvulas y demás, y en el coche y el avión, el control actúa sobre los mandos del aparato. El control este es sólo una máquina. Tiene unas entradas, y según las entradas, así controla la evolución del sistema. Lógicamente, tenemos que elegir de una forma inteligente cómo manejamos las entradas si queremos que la cosa funcione. Para eso usamos una función de control, que describe para cada instante qué valores ponemos en las entradas del control.
A la evolución natural del sistema solemos llamarla A, y al control B. El estado se llama x y la función de control u. Entonces, supongamos que tenemos un sistema A con su control B. Lo que queremos hacer ahora es minimizar el coste del control eligiendo adecuadamente la función u. El coste va en el sentido de que yo no quiero que el sistema se desvié demasiado del estado que yo quiero lograr (eso es costoso) y tampoco quiero gastar mucha energía en evitar que se desvíe (eso también es costoso). Así que u tiene que ser pequeña y x tiene que estar cerca de mi estado deseado, el cual solemos decir que es 0 para simplificar las cuentas.
Entonces, la teoría actual me dice que hay una única función u que minimiza el coste, y que esa función u no depende de cualquier cosa, si no que depende únicamente del estado del sistema. La teoría también me dice cómo encuentro en qué forma depende, es decir, cómo es exactamente u. Lo que logro con esto es lo que se llama un sistema de lazo cerrado. En todo momento, el sistema mira su estado actual, y a partir de este calcula qué modificación tiene que imponerse a sí mismo para no desviarse. Así es como se pueden mandar cohetes a Saturno sin que acaben en el Sol. Piensen ustedes que una mínima desviación del camino correcto al principio del viaje se multiplicaría muchísimo según pasa el tiempo. Por eso el sistema tienen que corregir sus propias desviaciones.
Esto está muy bien, y de hecho permite hacer muchas cosas en ingeniería. Pero todavía nos queda una pregunta ¿cómo se diseña esta máquina de control B? Según tengo entendido, esto lo hacen los ingenieros un poco a ojo, utilizando programas con los cuales pueden ver los efectos de modificar B. También hay que tener en cuenta que no todos los controles B posibles que nos imaginemos tienen sentido en la práctica. B representa una máquina que se ha de poder construir luego.
No obstante, esto es a lo que me dedico. Supongamos que todos los B son posibles y yo puedo elegirlos como quiera. Como hemos visto, para cada B hay un coste mínimo que es el que se consigue con el lazo cerrado. Entonces, yo me pregunto: ¿de todos los B cual consigue el menor coste mínimo? Este es el problema, sólo que con una importante restricción. Antes hablé de que B puede tener una o varias entradas. Resulta lógico pensar que cuantas más entradas tenga B, más fácil es controlar el sistema, y así es. En nuestro problemas nos encargamos sólo de los B que tienen una entrada. Son, por así decirlo, las máquinas más simples pero también a las que más les cuesta controlar el sistema.
Pues bueno, esto es a lo que me dedico. Les he mostrado este problema para acabar con dos mitos, el primero es que todo está descubierto en matemáticas. Este problema es sólo una ínfima parte de la investigación actual. Algún día hablaré de los grandes problemas actuales. El segundo es que los matemáticos hacemos cosas o muy absurdas o muy abstractas que no tienen nada que ver con el mundo real. Espero que lo hayan encontrado ustedes interesante.
Firmado: Dani
Actualmente estudio Informática y Matemáticas en la UAM. Llevo algo así como la vida misma cacharreando con ordenadores, más por curiosidad que para sacarle partido realmente, así que antes solía decir que era "informático". Desde que empecé la carrera me he ido metiendo de lleno en esto de las mates, y la verdad es que lo encuentro bastante interesante y satisfactorio. Esto, unido al hecho de que no estoy nada satisfecho con el enfoque que la dan a la informática mis queridos profesores, los cuales ni si quiera saben escribir bien en C, hace que últimamente le diga a todo el mundo que soy "matemático".
Historias de estas a parte, como ven, a lo que me dedico es mayormente tanto a las mates como a la informática, así que, un poco por deformación profesional, principalmente desfilarán por esta sección temas de interés en mates o en informática, quizá haciendo un poco de hincapié en la materia que es común a ambas. Prometo intentar traer también de vez en cuando temas de otras ciencias para que esta sección sea realmente de ciencia.
En mis pocos ratos libres también soy músico (oboista), así que quizá salga alguna vez algún tema que relacione música y matemáticas.
Intentaré darle a esto un enfoque más bien divulgativo, aunque conociéndome sé que alguna vez me pasaré de la raya y me pondré a hablar de cosas que nadie entiende ni a nadie le importan. Dicho todo esto, he considerado que la mejor forma de presentarme de forma "científica" es contándoles a ustedes en qué trabajo actualmente. Este trabajo forma parte de una beca de investigación en matemáticas que realizo en la universidad.
El trabajo es la resolución de un problema en teoría de control. La teoría de control es relativamente nueva y tiene aplicaciones bastante directas en ingeniería. Digo esto último para intentar acabar con el mito de que las matemáticas no sirven para nada y los matemáticos estamos siempre en las nubes.
La cosa esta de la teoría de control va más o menos así. Supongan ustedes que tenemos una cosa a la que llamaremos sistema de control. Esto es básicamente una especie de máquina en la cual hay dos cosas importantes: el estado y la entrada. El clásico ejemplo es el de una planta química donde se fabrica algún producto mediante una reacción. A mí me gustan también el de el sistema de control de estabilidad de un coche o el piloto automático de un avión. Entonces, el estado del sistema en el caso de la planta química podría ser algo así como la presión, temperatura y las concentraciones de los reactivos. En el coche tendríamos la velocidad y dirección, y en el avión la altura, velocidad, orientación y demás.
Este sistema, si nosotros lo dejamos libremente, evoluciona de una forma que normalmente no nos gusta mucho. La planta química podría explotar, el coche se sale por la curva cuando patina, y el avión, bueno, creo que ya saben ustedes todos los posibles desastres. Por eso añadimos al sistema un control. Un control es básicamente una maquinita que actúa sobre el sistema, modificando la evolución natural de éste. En la planta química probablemente se abran y cierren válvulas y demás, y en el coche y el avión, el control actúa sobre los mandos del aparato. El control este es sólo una máquina. Tiene unas entradas, y según las entradas, así controla la evolución del sistema. Lógicamente, tenemos que elegir de una forma inteligente cómo manejamos las entradas si queremos que la cosa funcione. Para eso usamos una función de control, que describe para cada instante qué valores ponemos en las entradas del control.
A la evolución natural del sistema solemos llamarla A, y al control B. El estado se llama x y la función de control u. Entonces, supongamos que tenemos un sistema A con su control B. Lo que queremos hacer ahora es minimizar el coste del control eligiendo adecuadamente la función u. El coste va en el sentido de que yo no quiero que el sistema se desvié demasiado del estado que yo quiero lograr (eso es costoso) y tampoco quiero gastar mucha energía en evitar que se desvíe (eso también es costoso). Así que u tiene que ser pequeña y x tiene que estar cerca de mi estado deseado, el cual solemos decir que es 0 para simplificar las cuentas.
Entonces, la teoría actual me dice que hay una única función u que minimiza el coste, y que esa función u no depende de cualquier cosa, si no que depende únicamente del estado del sistema. La teoría también me dice cómo encuentro en qué forma depende, es decir, cómo es exactamente u. Lo que logro con esto es lo que se llama un sistema de lazo cerrado. En todo momento, el sistema mira su estado actual, y a partir de este calcula qué modificación tiene que imponerse a sí mismo para no desviarse. Así es como se pueden mandar cohetes a Saturno sin que acaben en el Sol. Piensen ustedes que una mínima desviación del camino correcto al principio del viaje se multiplicaría muchísimo según pasa el tiempo. Por eso el sistema tienen que corregir sus propias desviaciones.
Esto está muy bien, y de hecho permite hacer muchas cosas en ingeniería. Pero todavía nos queda una pregunta ¿cómo se diseña esta máquina de control B? Según tengo entendido, esto lo hacen los ingenieros un poco a ojo, utilizando programas con los cuales pueden ver los efectos de modificar B. También hay que tener en cuenta que no todos los controles B posibles que nos imaginemos tienen sentido en la práctica. B representa una máquina que se ha de poder construir luego.
No obstante, esto es a lo que me dedico. Supongamos que todos los B son posibles y yo puedo elegirlos como quiera. Como hemos visto, para cada B hay un coste mínimo que es el que se consigue con el lazo cerrado. Entonces, yo me pregunto: ¿de todos los B cual consigue el menor coste mínimo? Este es el problema, sólo que con una importante restricción. Antes hablé de que B puede tener una o varias entradas. Resulta lógico pensar que cuantas más entradas tenga B, más fácil es controlar el sistema, y así es. En nuestro problemas nos encargamos sólo de los B que tienen una entrada. Son, por así decirlo, las máquinas más simples pero también a las que más les cuesta controlar el sistema.
Pues bueno, esto es a lo que me dedico. Les he mostrado este problema para acabar con dos mitos, el primero es que todo está descubierto en matemáticas. Este problema es sólo una ínfima parte de la investigación actual. Algún día hablaré de los grandes problemas actuales. El segundo es que los matemáticos hacemos cosas o muy absurdas o muy abstractas que no tienen nada que ver con el mundo real. Espero que lo hayan encontrado ustedes interesante.
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